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如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如图2,当点D不与M重合时,(
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如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
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(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=
,DM=4时,求DH的长.
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(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1中,
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∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABM,
∵CE∥AM,
∴∠ECD=∠ADB,
∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,
∴BD=DC,
∴△ABD≌△EDC,
∴AB=ED,∵AB∥ED,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)结论:成立.理由如下:
如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.
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∵CE∥AM,
∴四边形DMGE是平行四边形,
∴ED=GM,且ED∥GM,
由(1)可知AB=GM,AB∥GM,
∴AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,
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∵BM=MC,
∴MI是△BHC的中位线,
∴∥BH,MI=
BH,
∵BH⊥AC,且BH=AM.
∴MI=
AM,MI⊥AC,
∴∠CAM=30°.
②设DH=x,则AH=
x,AD=2x,
∴AM=4+2x,
∴BH=4+2x,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴DF∥AB,
∴
=
,
∴
=
,
解得x=1+
或1-
(舍弃),
∴DH=1+
.
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∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABM,
∵CE∥AM,
∴∠ECD=∠ADB,
∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,
∴BD=DC,
∴△ABD≌△EDC,
∴AB=ED,∵AB∥ED,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)结论:成立.理由如下:
如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.
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∵CE∥AM,
∴四边形DMGE是平行四边形,
∴ED=GM,且ED∥GM,
由(1)可知AB=GM,AB∥GM,
∴AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,
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∵BM=MC,
∴MI是△BHC的中位线,
∴∥BH,MI=
1 |
2 |
∵BH⊥AC,且BH=AM.
∴MI=
1 |
2 |
∴∠CAM=30°.
②设DH=x,则AH=
3 |
∴AM=4+2x,
∴BH=4+2x,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴DF∥AB,
∴
HF |
HA |
HD |
HB |
∴
| ||
|
x |
4+2x |
解得x=1+
5 |
5 |
∴DH=1+
5 |
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