设x1,x2,……,xn都是n维向量,证明x1,x2……xn线性无关的充要条件是任何n维向量都可以被他们线性表出

Question

设x1,x2,……,xn都是n维向量,证明x1,x2……xn线性无关的充要条件是任何n维向量都可以被他们线性表出

Answer 1

(必要性)
对任一n维向量x, n+1个n维向量 x1,x2……xn, x 线性相关
而 x1,x2……xn 线性无关, 所以 x 可由 x1,x2……xn线性表示
(充分性)
因为任一向量可由x1,x2……xn线性表示
所以 n 维基本向量组 可由 x1,x2……xn 线性表示
所以 x1,x2……xn 与 n维基本向量组等价
所以 r(x1,x2……xn) = n
所以 x1,x2……xn 线性无关