求闭曲线(x2+y2)3=a2(x4+y4)所围图形的面积（其中常数a>0)

Question

求闭曲线(x2+y2)3=a2(x4+y4)所围图形的面积（其中常数a>0)

Answer 1

利用面积公式：S=第二型曲线积分_L xdy,
写出曲线L的参数方程.利用极坐标.
x=rcosb,y=rsinb,代入得r^6=a^2r^4(cos^4b+sin^4b),
即r=a*根号(cos^4b+sin^4b)
于是L的参数方程为
x=acosb*根号(cos^4b+sin^4b)
y=asinb*根号(cos^4b+sin^4b),
dy=acosb*根号(cos^4b+sin^4b)
+2asin^2b*cosb*(sin^2b--cos^2b)/根号(cos^4b+sin^4b),
代入得积分为3pi*a^3/4.
最后从0到2pi的积分自己计算吧,不难,就是有点麻烦而已.