求∬D(x2+y2+y)dσ，其中D是由圆x2+y2=4和（x+1）2+y2=1所围成的平面区域（如图）．

Question

求

∬

D

(√(x2+y2)+y)dσ，其中D是由圆x²+y²=4和（x+1）²+y²=1所围成的平面区域（如图）．

Answer 1

I=

∬

D

(√(x2+y2)+y)dσ=

∬

D

√(x2+y2)dσ+

∬

D

ydσ=I₁ +I₂
因为区域 D 关于 x 对称，y 是关于变量 y的奇函数，由二重积分的性质可得，I₂=0．
下面计算 I₁ 的值．
记 D₁ ={（x，y）|x²+y²≤4}，D₂={（x，y）|（x+1）²+y²≤1}，
则 I₁=

∬

D1

√(x2+y2)dσ-

∬

D2

√(x2+y2)dσ，
利用极坐标系进行计算，可得
D₁ ={（r，θ）|0≤θ≤2π，0≤r≤2}，D₂={（r，θ）|−(π)/(2)≤θ≤(π)/(2)，r≤-2cosθ}，
 I₁=

∫

2π 0

 dθ 

∫

2 0

r2dr-

∫

(π)/(2) 作业帮用户 2017-10-18 问题解析 本题中的积分区域比较复杂，直接进行计算比较繁琐．由于积分区域可以写成两个区域的差集，从而，为简化计算，可利用积分区域的可加性将所求积分写成两个积分的差． 名师点评 本题考点： 二重积分的计算；二重积分的性质及应用；利用极坐标系计算二重积分． 考点点评： 本题的综合性较强，求解过程综合利用了二重积分的区域可加性、二重积分的性质与应用以及利用极坐标法计算二重积分．通常情况下，在计算二重积分的过程中，利用积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性可以十分有效的简化计算过程． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议