若不论k为何值，直线y=k（x-1）-k24与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值．

Question

若不论k为何值，直线y=k（x-1）-(k2)/(4)与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值．

Answer 1

∵直线y=k（x-1）-(k2)/(4)与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，
∴方程组：

y＝k(x−1)−(k2)/(4)

y＝ax2+bx+c

只有一组解，
∴ax²+（b-k）x+(k2)/(4)+k+c=0有相等的实数解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵对于k为任何实数，上式恒成立，
∴

1−a＝0

−2(2a+b)＝0

b2−4ac＝0

，
∴a=1，b=-2，c=1．