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(2013•河南模拟)已知球的直径SC=8,A,B是该球球面上的两点,AB=23,∠SCA=∠SCB=60°,则三棱锥S-ABC的体积为()A.23B.43C.63D.83
题目详情
(2013•河南模拟)已知球的直径SC=8,A,B是该球球面上的两点,AB=2
,∠SCA=∠SCB=60°,则三棱锥S-ABC的体积为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
3 |
A.2
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B.4
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C.6
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D.8
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▼优质解答
答案和解析
设球心为O,连结AO、BO,取CO的中点D,连结AD、BD,
∵SC为球的直径,A、B是球面上的点,∴∠SAC=∠SBC=90°.
又∵∠SCA=∠SCB=60°,SC=8,∴BC=AC=
SC=4.
∵△AOC中,AO=CO=AC=4,∴△AOC是边长为4的正三角形,
又∵D为CO的中点,∴AD⊥SC且AD=
×4=2
.
同理可得BD⊥SC且BD=2
,
∵AD、BD是平面ABD内的相交直线,∴SC⊥平面ABD.
∵AB=2
,AD=BD=2
,
∴△ABD是等边三角形,可得S△ABD=
AD×BDsin60°=3
.
因此,三棱锥S-ABC的体积为
V=VC-ABD+VS-ABD=
×S△ABD×CD+
×S△ABD×SD=
×S△ABD(CD+SD)
=
S△ABD×SC=
×8×3
=8
.
故选:D.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/31/1535689590-9130.jpg)
∵SC为球的直径,A、B是球面上的点,∴∠SAC=∠SBC=90°.
又∵∠SCA=∠SCB=60°,SC=8,∴BC=AC=
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∵△AOC中,AO=CO=AC=4,∴△AOC是边长为4的正三角形,
又∵D为CO的中点,∴AD⊥SC且AD=
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同理可得BD⊥SC且BD=2
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∵AD、BD是平面ABD内的相交直线,∴SC⊥平面ABD.
∵AB=2
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∴△ABD是等边三角形,可得S△ABD=
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因此,三棱锥S-ABC的体积为
V=VC-ABD+VS-ABD=
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故选:D.
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