（2013•河南模拟）已知球的直径SC=8，A，B是该球球面上的两点，AB=23，∠SCA=∠SCB=60°，则三棱锥S-ABC的体积为（）A．23B．43C．63D．83

Question

（2013•河南模拟）已知球的直径SC=8，A，B是该球球面上的两点，AB=2√(3)，∠SCA=∠SCB=60°，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）

A．2√(3)
B．4√(3)
C．6√(3)
D．8√(3)

Answer 1

设球心为O，连结AO、BO，取CO的中点D，连结AD、BD，
∵SC为球的直径，A、B是球面上的点，∴∠SAC=∠SBC=90°．
又∵∠SCA=∠SCB=60°，SC=8，∴BC=AC=(1)/(2)SC=4．
∵△AOC中，AO=CO=AC=4，∴△AOC是边长为4的正三角形，
又∵D为CO的中点，∴AD⊥SC且AD=(√(3))/(2)×4=2√(3)．
同理可得BD⊥SC且BD=2√(3)，
∵AD、BD是平面ABD内的相交直线，∴SC⊥平面ABD．
∵AB=2√(3)，AD=BD=2√(3)，
∴△ABD是等边三角形，可得S_△ABD=(1)/(2)AD×BDsin60°=3√(3)．
因此，三棱锥S-ABC的体积为
V=V_C-ABD+V_S-ABD=(1)/(3)×S_△ABD×CD+(1)/(3)×S_△ABD×SD=(1)/(3)×S_△ABD（CD+SD）
=(1)/(3)S_△ABD×SC=(1)/(3)×8×3√(3)=8√(3)．
故选：D．