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已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(x1-x2)=f(x1)*f(x2)+1/f(x2)-f(x1)存在正常数,使f(a)=1,求证(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a
题目详情
已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(x1-x2)=【f(x1)*f(x2)+1】/【f
(x2)-f(x1)】存在正常数,使f(a)=1,求证(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a
(x2)-f(x1)】存在正常数,使f(a)=1,求证(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a
▼优质解答
答案和解析
(1)
f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]
设x=x1-x2
f(-x)=f(x2-x1)=[f(x2)f(x1)+1]/[f(x1)-f(x2)]
=-[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]=-f(x1-x2)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)
f(a)=1,f(-a)=-1
f(x-a)=[f(x)+1]/[1-f(x)]
f(x+a)=[-f(x)+1]/[-1-f(x)]=[f(x)-1]/[1+f(x)]=-1/f(x-a)
f(x+2a)=f(x+a+a)=-1/f(x+a-a)=-1/f(x)
f(x-a)=-1/f(x+a)
f(x-2a)=f(x-a-a)=-1/f(x-a+a)=-1/f(x)
∴f(x+2a)=f(x-2a)
∴f(x)是周期函数,4a是一个周期
f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]
设x=x1-x2
f(-x)=f(x2-x1)=[f(x2)f(x1)+1]/[f(x1)-f(x2)]
=-[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]=-f(x1-x2)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)
f(a)=1,f(-a)=-1
f(x-a)=[f(x)+1]/[1-f(x)]
f(x+a)=[-f(x)+1]/[-1-f(x)]=[f(x)-1]/[1+f(x)]=-1/f(x-a)
f(x+2a)=f(x+a+a)=-1/f(x+a-a)=-1/f(x)
f(x-a)=-1/f(x+a)
f(x-2a)=f(x-a-a)=-1/f(x-a+a)=-1/f(x)
∴f(x+2a)=f(x-2a)
∴f(x)是周期函数,4a是一个周期
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