已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5．线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ．（1）求PQ的长．（2）求∠APB的度数．

Question

已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5．线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ．

（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP=4．
（2）连接QC．

∵△ABC、△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC．
在△ABP和△ACQ中

AB=AC

∠BAP=∠CAQ

AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ．
∴BP=CQ=3，∠APB=∠AQC，
∵在△PQC中，PQ²+CQ²=PC²
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP=60°
∴∠APB=∠AQC=60°+90°=150°．