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(2010•新疆模拟)多面体EF-ABCD中,ABCD为正方形,BE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,AB=CF=2BE.(Ⅰ)求证:DE⊥AC;(Ⅱ)求平面EFD与平面ABCD所成的锐二面角.
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/02/1535857657-5356.jpg)
CF=2BE.
(Ⅰ)求证:DE⊥AC;
(Ⅱ)求平面EFD与平面ABCD所成的锐二面角.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连接BD
∵BE⊥平面ABCD
∴BD为DE为在底面ABCD上的射影
∴在正方形ABCD中,AC⊥BD…
∴DE⊥AC…4分
(Ⅱ)延长FE与CB,交于点G,连接DG,则DG为平面EFD与平面ABCD的交线,
过C作CH⊥DG交DG于H,连接FH
∵FC⊥平面ABCD,
∴CH为FH在面ABCD上的射影
∴FH⊥DG
∴∠FHC为二面角F-DG-C的平面角 8分
设BE=1,在△DCG中,CH=
=
在△FCH中,FC=2,
∴tan∠FHC=
=
∴所求锐二面角为arctan
…12分
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/02/1535857657-5330.jpg)
∵BE⊥平面ABCD
∴BD为DE为在底面ABCD上的射影
∴在正方形ABCD中,AC⊥BD…
∴DE⊥AC…4分
(Ⅱ)延长FE与CB,交于点G,连接DG,则DG为平面EFD与平面ABCD的交线,
过C作CH⊥DG交DG于H,连接FH
∵FC⊥平面ABCD,
∴CH为FH在面ABCD上的射影
∴FH⊥DG
∴∠FHC为二面角F-DG-C的平面角 8分
设BE=1,在△DCG中,CH=
2×4 | ||
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4 | ||
|
在△FCH中,FC=2,
∴tan∠FHC=
2
| ||
4 |
| ||
2 |
∴所求锐二面角为arctan
| ||
2 |
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