已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=3x-2相切，求a的值；（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x+alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=3x-2相切，求a的值；
（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x+alnx的导数为f′（x）=1+(a)/(x)，
可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+a=3，
解得a=2；
（2）f′（x）=1+(a)/(x)，x>0，
当a>0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，且值域为R；
当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a<0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，（-a，+∞）上单调递增．
则当a>0时，f（x）≥a不可能恒成立；
当a=0时，f（x）=x≥0，成立；
当a<0时，f（x）在x=-a处取得最小值f（-a），则只需f（-a）≥a，
即-a+aln（-a）≥a，所以ln（-a）≤2，
解得a≥-e²，所以-e²≤a<0．
综上所述：a的范围是[-e²，0]．