已知：函数f(x)＝12x2+ax−2a2lnx(a＞0)（I）求f（x）的单调区间；（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Question

已知：函数f(x)＝(1)/(2)x2+ax−2a2lnx(a＞0)
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）∵函数f(x)＝(1)/(2)x2+ax−2a2lnx(a＞0)的定义域为（0，+∞）
∴f′(x)＝x+a−(2a2)/(x)=(x2+ax−2a2)/(x)=((x+a)(x−2a))/(x)
∵a＞0，令f′（x）=0，则x=-a（舍去），或x=2a
∵当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，∵当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，2a）为函数f(x)＝(1)/(2)x2+ax−2a2lnx的单调递减区间，
（2a，+∞）为函数f(x)＝(1)/(2)x2+ax−2a2lnx的单调递增区间；
（II）由（I）得当x=2a时，函数取最小值4a²-2a²ln（2a）
若f（x）＞0恒成立
则4a²-2a²ln（2a）=2a²•[2-ln（2a）]＞0
即2-ln（2a）＞0
解得a＜(e2)/(2)
又∵a＞0，
∴a的取值范围为（0，(e2)/(2)）