设二次函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点是-1，且满足[f（x）-x]•[f（x）-x2+12]≤0恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的解析式．

Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c的一个零点是-1，且满足[f（x）-x]•[f（x）-(x2+1)/(2)]≤0恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）由均值不等式得(x2+1)/(2)≥(2x)/(2)=x，
若[f（x）-x]•[f（x）-(x2+1)/(2)]≤0恒成立，
即x≤f（x）≤(x2+1)/(2)恒成立，
令x=1得1≤f（1）≤(12+1)/(2)=1，故f（1）=1．
（2）由函数零点为-1得f（-1）=0，即a-b+c=0，
又由（1）知a+b+c=1，所以解得a+c=b=(1)/(2)．
又f（x）-x=ax²+(1)/(2)x+c-x=ax²-(1)/(2)x+c，
因为f（x）-x≥0恒成立，所以△=(1)/(4)-4ac≤0，
因此ac≥(1)/(16)①
于是a＞0，c＞0．再由a+c=(1)/(2)，
得ac≤((a+c)/(2))2=(1)/(16)②
故ac=(1)/(16)，且a=c=(1)/(4)，
故f（x）的解析式是f（x）=(1)/(4)x²+(1)/(2)x+(1)/(4)．