已知函数f(x)＝2−(13)x，x≤012x2−x+1，x＞0．（1）写出该函数的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围；（3）若f（x）≤n2-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]

Question

已知函数f(x)＝

2−((1)/(3))x，x≤0

(1)/(2)x2−x+1，x＞0

．
（1）写出该函数的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的图象如右图；
函数f（x）的单调递减区间是（0，1）单调增区间是（-∞，0）及（1，+∞）…（3分）
（2）作出直线y=m，
函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点等价于函数y=m
与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．
由函数f(x)＝

2−((1)/(3))x，x≤0

(1)/(2)x2−x+1，x＞0

又f（0）=1 f（1）=(1)/(2)
∴m∈((1)/(2)，1)…（6分）
（3）∵f （x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]恒成立
∴[f（x）]_max≤n²-2bn+1，[f（x）]_max=f（1）=1
∴n²-2bn+1≥1即n²-2bn≥0在b∈[-1，1]恒成立
∴y=-2nb+n²在b∈[-1，1]恒大于等于0                …（9分）
∴

−2n×(−1)+n2≥0

−2n×1+n2≥0

，∴

n≥0或n≤−2

n≤0或n≥2

∴n的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）…（12分）