在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=2，EF=EC=1，（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；（2）求二面角A-BF-E的余弦值．

Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=√(2)，EF=EC=1，
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD．
连接BD交AC于点O，连接FO．
∵正方形ABCD的边长为√(2)，∴AC=BD=2．
在直角梯形ACEF中，∵EF=EC=1，O为AC中点，
∴FO∥EC，且FO=1，
DF=BF=√(2)，DE=BE=√(3)．
由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，
∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角．
由BF=DF=√(2)，BD=2可知∠BFD=90°，
∴平面BEF⊥平面DEF．
（2）取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，
∵AB=BF=AF=√(2)，∴AM⊥BF．
又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角．
由题意得AM=(√(3))/(2)AB=(√(6))/(2)，MN=(1)/(2)EF＝(1)/(2)．
取BC中点P，连接NP，则NP∥EC，
∴NP⊥平面ABCD，连接AP，在Rt△APN中，解得AN²=AP²