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在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=2,EF=EC=1,(1)求证:平面BEF⊥平面DEF;(2)求二面角A-BF-E的余弦值.
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(1)求证:平面BEF⊥平面DEF;
(2)求二面角A-BF-E的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD.
连接BD交AC于点O,连接FO.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df431adcbef7609d0867a2e2ddda3cc7dd99ef6.jpg)
∵正方形ABCD的边长为
,∴AC=BD=2.
在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O为AC中点,
∴FO∥EC,且FO=1,
DF=BF=
,DE=BE=
.
由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF,
∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角.
由BF=DF=
,BD=2可知∠BFD=90°,
∴平面BEF⊥平面DEF.
(2)取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=
,∴AM⊥BF.
又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.
由题意得AM=
AB=
,MN=
EF=
.
取BC中点P,连接NP,则NP∥EC,
∴NP⊥平面ABCD,连接AP,在Rt△APN中,解得AN2=AP2
连接BD交AC于点O,连接FO.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df431adcbef7609d0867a2e2ddda3cc7dd99ef6.jpg)
∵正方形ABCD的边长为
2 |
在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O为AC中点,
∴FO∥EC,且FO=1,
DF=BF=
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由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF,
∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角.
由BF=DF=
2 |
∴平面BEF⊥平面DEF.
(2)取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=
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又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.
由题意得AM=
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取BC中点P,连接NP,则NP∥EC,
∴NP⊥平面ABCD,连接AP,在Rt△APN中,解得AN2=AP2
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