（2014•东莞一模）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝π3，AD=2．（1）求证：平面FCB∥平面AED；（2）若二面角A-EF-C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的

Question

（2014•东莞一模）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝(π)/(3)，AD=2．
（1）求证：平面FCB∥平面AED；
（2）若二面角A-EF-C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

Answer 1

（1）证明：矩形BDEF中，FB∥ED，--------（1分）
∵FB⊄平面AED，ED⊂平面AED，
∴FB∥平面AED，-（2分）
同理BC∥平面AED，-------（3分）
又FB∩BC=B，
∴平面FBC∥平面EDA．------（4分）
（2）取EF的中点M．
∵ED⊥面ABCD，ED∥FB，∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB
∵ABCD是菱形，BDEF是矩形，
∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，
∴AE=AF，CE=CF，
∴AM⊥EF，CM⊥EF，
∴∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角-------（8分）
解法1（几何方法）：
延长CB到G，使BC=BG，由已知可得，ADBG是平行四边形，又BDEF矩形，
∴AEFG是平行四边形，A，E，F，G共面，
由上证可知，AM⊥MC，CM⊥EF，EF，AM相交于M，
∴CM⊥平面AEFG，
∴∠CGM为所求．

由AD=2，∠DAB=60°，得AC＝2√(3)
等腰直角三角形AMC中，AC＝2√(3)，可得MC＝√(6)
直角三角形GMC中，sin∠CGM＝(CM)/(CG)＝(√(6))/(4)
解法2（向量方法）：以D为原点，DC为y轴、DE为z轴，建立如图的直角坐标系，由AD=2．则M((√(3))/(2)，(1)/(2)，√(3))，C（0，2，0），平面AEF的法向量

n

＝

MC

＝(−(√(3))/(2)，(3)/(2)，−√(3))，-------（12分）

∴

CB

＝

DA

＝(√(3)，−1，0)，
∴cos＜

n

，

CB

＞＝(n•CB)/(|n||CB|)＝−(√(6))/(4)，
∴sinθ＝(√(6))/(4)．---（14分）