已知l是过正方体的顶点的平面与下底面ABCD所在平面的交线．(1)求证：∥l；(2)若AB=a，求l与间的距离．

Question

已知l是过正方体的顶点的平面与下底面ABCD所在平面的交线．
(1)求证：∥l；
(2)若AB=a，求l与间的距离．

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Answer 1

【分析】(1)先证明由D₁B₁∥BD证明D₁B₁∥平面ABCD，再由线面平行的性质定理证明D₁B₁∥l．
(2)利用正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中线面垂直，作出并证明过点D₁与l垂线，在直角三角形中求出．

(1)证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁B₁∥BD，
∵BD⊂平面ABCD，D₁B₁⊄平面ABCD
∴D₁B₁∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，
∴D₁B₁∥l．

(2)在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连接D₁G，

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥l，
∵D₁D∩DG=D，
∴l⊥平面D₁DG
∴D₁G⊥l，即D₁G的长即等于点D₁与l间的距离．
∵l∥D₁B₁∥BD，
∴∠DAG=45°．
∴DG=a，在直角三角形D₁DG中，
则有D₁G===a．

【点评】本题考查了平行判定与性质定理的应用，用于线线平行于线面平行的转化；求距离时考查了线面垂直和线线垂直的相互转化，利用了线面垂直定义及判定定理．