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在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,(1)求证:数列an/2^n是等差数列;(2)设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s(n+1)-4an=1

题目详情
在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,
(1)求证:数列an/2^n是等差数列;
(2)设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s(n+1)-4an=1
▼优质解答
答案和解析
题目写漏个2吧=_+【a(n+1)=2an+2^n】
证明:

∵a(n+1)=2an+(2^n)
∴a(n+1)-2an=2^n
∴[a(n+1)-2an]/[2^(n+1)]=[a(n+1)/2^(n+1)]-[an/(2^n)]=(2^n)/[2^(n+1)]=1/2
∴数列{an/2^n}是以首项为a1/2=1/2,公差为1/2的等差数列

由⑴知:
an/(2^n)=1/2+(n-1)×1/2=1/2n
∴an=(1/2n)×(2^n)=n•2^(n-1)
∴Sn=1•(2^0)+2•(2^1)+3•(2^2)+……+(n-1)•2^(n-2)+n•2^(n-1)
则2Sn= 1•(2^1)+2•(2^2)+3•(2^3)+………………+(n-1)•2^(n-1)+n•(2^n)
两式相减,得:
Sn=n•(2^n)-(1+2+2^2+……+2^(n-1))=n•(2^n)-[ [1(1-(2^n)]/(1-2) ]=n•(2^n)-(2^n)+1=(2^n)(n-1)+1
∴S(n+1)-4an=[2^(n+1)]•n+1-[n•2^(n+1)]=1.