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如图,已知多面体ABCD-A1B1C1D1,它是由一个长方体ABCD-A'B'C'D'切割而成,这个长方体的高为b,底面是边长为a的正方形,其中顶点A1,B1,C1,D1均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点.(1)若多
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如图,已知多面体ABCD-A1B1C1D1,它是由一个长方体ABCD-A'B'C'D'切割而成,这个长方体的高为b,底面是边长为a的正方形,其中顶点A1,B1,C1,D1均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点.
(1)若多面体面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(2)若a=4,b=2,求该多面体的体积;
(3)当a,b满足什么条件时AD1⊥DB1,并证明你的结论.
(1)若多面体面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(2)若a=4,b=2,求该多面体的体积;
(3)当a,b满足什么条件时AD1⊥DB1,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接AC,BD交于O点,
∵E为AA1的中点,O为AC的中点,
∴在△AA1C中,OE为△AA1C的中位线,
∴OE∥A1C,
∵OE⊄平面A1C1C,A1C⊂平面A1C1C,
∴OE∥平面A1C1C;
(2)多面体表面共包括10个面,补全长方体ABCD-A'B'C'D',则知多面体ABCD-A1B1C1D1体积为:
VABCD−A1B1C1D1=VABCD-A′B′C′D′-4VA−A′A1D1
=4×4×2-4×
×
×2×2×2
=
,
(3)易知CD⊥平面ADD1,D1B1∥DC,D1B1,OC确定平面CDD1B1,
∵AD1⊂平面ADD1,
∴CD⊥AD1,若AD1⊥DB1,
∵DB1∩CD=D,
∴AD1⊥平面CDD1B1,
∵DD1⊂平面CDD1B1,
∴AD1⊥DD1,取AD中点M,
则D1M∥A'A,且D1M=A'A,
∴在RtADD1中,2D1M=AD,即a=2b
即:当a=2b时,AD1⊥DB1.
∵E为AA1的中点,O为AC的中点,
∴在△AA1C中,OE为△AA1C的中位线,
∴OE∥A1C,
∵OE⊄平面A1C1C,A1C⊂平面A1C1C,
∴OE∥平面A1C1C;
(2)多面体表面共包括10个面,补全长方体ABCD-A'B'C'D',则知多面体ABCD-A1B1C1D1体积为:
VABCD−A1B1C1D1=VABCD-A′B′C′D′-4VA−A′A1D1
=4×4×2-4×
1 |
3 |
1 |
2 |
=
80 |
3 |
(3)易知CD⊥平面ADD1,D1B1∥DC,D1B1,OC确定平面CDD1B1,
∵AD1⊂平面ADD1,
∴CD⊥AD1,若AD1⊥DB1,
∵DB1∩CD=D,
∴AD1⊥平面CDD1B1,
∵DD1⊂平面CDD1B1,
∴AD1⊥DD1,取AD中点M,
则D1M∥A'A,且D1M=A'A,
∴在RtADD1中,2D1M=AD,即a=2b
即:当a=2b时,AD1⊥DB1.
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