已知正三棱锥的棱长为a,请分别用a表示三棱锥内接球和外接球的半径.

Question

已知正三棱锥的棱长为a,请分别用a表示三棱锥内接球和外接球的半径.
 

Answer 1

正三棱锥P-ABC,棱长a
设底面三角形ABC的AB、BC、CA边中点为D、E、F
易得三角形BPF、AEP、CDP全等,BF、CD、AE交于O,且PO⊥平面ABC
任选PO上一点O',易证明O'到PD、PE、PF的距离相等
当OO'等于O'到PD、PE、PF的距离距离时,恰好就是正三棱锥的内切球半径r
OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√3/6
PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√3/2
PO=√(3a^2/4-a^2/12)=√(8a^2/12)=a√6/3
OO'=(1/4)PO=a√6/12
验证：O'到PF的距离O'H=OO'
设OG⊥PF,O'H//OG
sin∠OFP=2√2/3,OG=OF*sin∠OFP=a√6/9
3/4=O'H/OG,O'H=3OG/4=a√6/12
所以,正三棱锥内切球的半径r=a√6/12
外接球半径R=PO-OO'=a√6(1/3-1/12)=a√6/4
验证：AO'=PO'
AO'=√[(2a√3/6)^2+r^2]=√(a^2/3+a^2/24)=a√(3/8)
=a√(6/16)=a√6/4