设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2sinx-3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程f(x)＝2a|x−12|有解，求实数a的取值范围．

Question

设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)＝2a|x−(1)/(2)|有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，
所以f（x）=x²+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当x＝(1)/(2)时，f((1)/(2))≠0，不成立．
②当−1≤x＜(1)/(2)时，x−(1)/(2)＜0，
令t＝(1)/(2)−x，则x＝(1)/(2)−t，0＜t≤(3)/(2)，2a＝(((1)/(2)−t)2+2((1)/(2)−t)−3)/(t)＝t−(7)/(4t)−3，
因为函数h(t)＝t−(7)/(4t)−3在(0，(3)/(2)]上单增，所以2a≤h((3)/(2))＝−(8)/(3)⇒a≤−(4)/(3)．
③当(1)/(2)＜x≤1时，x−(1)/(2)＞0，
令t＝x−(1)/(2)，则x＝(1)/(2)+t，0＜t≤(1)/(2)，2a＝(((1)/(2)+t)2+2((1)/(2)+t)−3)/(t)＝t−(7)/(4t)+3，
因为函数g（t）=t-(7)/(4t)+3在(0，(1)/(2)]上单增，所以2a≤g（(1)/(2)）=0⇒a≤0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．