已知二次函数f（x） 对任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，12），c=（cos2x，1），d=（1，2）．（1）分别求a•b和c•d的取值范围；（2）当x∈[0，π]时，求不

Question

已知二次函数f（x） 对任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，设向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，(1)/(2)），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2）．
（1）分别求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范围；
（2）当x∈[0，π]时，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

（1）

a

•

b

=2sin²x+1≥1    

c

•

d

=2cos²x+2≥1
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）图象关于x=1对称
当二次项系数m＞0时，f（x）在（1，+∞）内单调递增，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＞2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈((π)/(4)，(3π)/(4))
当二次项系数m＜0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＜2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈[0，(π)/(4))∪((3π)/(4)，π]、
故当m＞0时不等式的解集为（(π)/(4)，(3π)/(4)）；当m＜0时不等式的解集为 [0，(π)/(4))∪((3π)/(4)，π]