“轮对”是一个半径为r的轻轮安装在细的重轴上构成的.它以某一速度v,方向垂直于平面的分界线,沿着有点粗糙的水平面（过渡到与水平面成角a）作无滑滚动.试问在v为何只的情况下,“轮对

Question

“轮对”是一个半径为r的轻轮安装在细的重轴上构成的.它以某一速度v,方向垂直于平面的分界线,沿着有点粗糙的水平面（过渡到与水平面成角a）作无滑滚动.试问在v为何只的情况下,“轮对”从水平面无脱离地滚到斜面上

Answer 1

当速度的方向过度到平行斜面的瞬间,轮子还没脱离斜面的话,就不会再脱离了.而且可以保证之前也不会脱离,这是因为当速度从水平往斜面方向转的过程中,速度增大,重力用来维持向心加速度的分量在减小；利用这个单调性可以证明.
临界情况就是,当速度方向刚到达平行斜面时是v1,v1的向心加速度刚好能由重力的垂直斜面分量提供,即可.
即
mv1^2/r=mgcosa
v1可以根据机械能守恒得到
mv^2/2+mgr（1-cosa)=mv1^2/2
得到
v=sqrt(gr(3cosa-2))
当v比这个值小的时候,就可以无脱离.
当斜面角度使得
cosa<2/3也就是a够大的时候,上面的式子无解,说明这个时候,无论速度多么小,都会脱离.