（2013•自贡模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点．（1）求证：B1D⊥平面ABD；（2）求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值．

Question

（2013•自贡模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的正切值．

Answer 1

（1）在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=(1)/(2)CC₁=1
∴B₁D=√(2)，同理BD=√(2)，
在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²，
∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D⊂平面BB₁C₁C，
∴B₁D⊥AB
又∵AB∩D=B
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=√(2)
∴tan∠ADB=(AB)/(BD)=(√(2))/(2)
∴∠ADB=arctan(√(2))/(2)
即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为arctan(√(2))/(2)