求函数y=－2cos平方x+sinx-4,x∈[π/6,5/6π]的最大值和最小值,并写出此时自变量的值

Question

求函数y=－2cos平方x+sinx-4,x∈[π/6,5/6π]的最大值和最小值,并写出此时自变量的值

Answer 1

y=-2cos²x+sinx-4
=-2(1-sin²x)+sinx-4
=2sin²x+sinx-6
=2t²+t-6 令t=sinx
=g(t)
y(x)的最值即为g(t)的最值
t=sinx在[0,π/2]上为单调递增函数,在[π/2,π]上为单调递减函数
∴t在[π/6,5π/6]上的最大值为t(π/2)=1,最小值为t(π/6)=t(5π/6)=1/2
∴t的取值范围为t∈[1/2,1],即抛物线g(t)=2t²+t-6的定义域为[1/2,1]
抛物线对称轴为x=-1/4,开口向上,故在[1/2,1]上为t的单调递增函数
∴y的最大值为g(t)=g(1)=-3,此时t=sinx=1,x=π/2
y的最小值为g(t)=g(1/2)=-5,此时t=sinx=1/2,x=π/6 或 5π/6