如图,在梯形ABCD中,AB=DC,F是BC的中点,FE⊥AB,FG⊥CD,垂足为D,E如果H是AD的中点,AD=CD=1/2BC,试判断四边形EFGH的形状,并证明貌似是用中位线,知道是菱形,不知道怎么证明,30分钟内可以加分

Question

如图,在梯形ABCD中,AB=DC,F是BC的中点,FE⊥AB,FG⊥CD,垂足为D,E
如果H是AD的中点,AD=CD=1/2BC,试判断四边形EFGH的形状,并证明
貌似是用中位线,知道是菱形,不知道怎么证明,30分钟内可以加分

Answer 1

连接BD、AC、EG、HF、DF、AF.
AD=CD=1/2B,CF是BC的中点,CF平行且等于AD,四边形AFCD为平行四边形,
AF=CD=BF=AB=CF,三角形ABF为正三角形,∠B=∠C=60°,
又FE⊥AB,FG⊥CD,∠BFE=∠CFG=30°,BE=BF/2,CG=CF/2,BE=CG=AB/2=CD/2,
E、G为中点,EF=AC/2=HG,EH=BD/2=FG,EF‖AC‖HG,EH‖BD‖FG,
又在梯形ABCD中,AB=DC,为等腰梯形,所以BD=AC,EH=EF=FG=GH,所以四边形EFGH为菱形.