在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．（1）求∠EFD的度数；（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．

Question

在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．

（1）求∠EFD的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°
∴∠BAC=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴∠FAC=(1)/(2)∠BAC=15°，∠FCA=(1)/(2)∠ACB=45°
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°；
（2）FE与FD之间的数量关系为FE=FD；
证明：在AC上截取AG=AE，连接FG，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2
又∵AF为公共边
在△EAF和△GAF中
∵

AE=AG

∠EAF=∠FAG

AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF
∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=60°，
又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45°
在△FDC和△FGC中
∵

∠DFC=∠GFC

FC=FC

∠FCG=∠FCD

，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD
∴FE=FD．