如图，现有一张正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点C落在P处，点B落在O处，OP交AB于Q，折痕为MN，连接CP．（1）求证：∠CPD=∠CPQ；（2

Question

如图，现有一张正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点C落在P处，点B落在O处，OP交AB于Q，折痕为MN，连接CP．

（1）求证：∠CPD=∠CPQ；
（2）当点P在边AD上移动时，试判断DP+BQ的长与PQ的长是否相等？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：由翻折变换的性质得出∠PCB=∠CPQ．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠CPD=∠PCB．
∴∠CPD=∠CPQ．
（2）证明：过C作CE⊥PO，垂足为E，
由（1）知，∠CPD=∠CPQ，
在△CDP和△CEP中，

∠D＝∠CEP＝90°

∠CPD＝∠CPQ

CP＝CP

，
∴△CDP≌△CEP（AAS），
∴CD=CE，DP=EP，
∴BC=EC．
又∵∠B=∠CEQ=90°，
∴△CEQ和△CBQ是直角三角形，
在Rt△CEQ与Rt△CBQ中，

BC＝EC

CQ＝CQ

，
∴Rt△CEQ≌Rt△CBQ（HL），
∴EQ=BQ，
∴DP+BQ=PQ．