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设正项级数∞n=1ln(1+an)收敛,则级数∞n=1(−1)nanan+1的敛散性为.

题目详情
设正项级数
n=1
ln(1+an)收敛,则级数
n=1
(−1)n
anan+1
的敛散性为______.
▼优质解答
答案和解析
因为正项级数
n=1
ln(1+an)收敛,
所以an>0且an→0(n→∞).
又因为
lim
n→∞
ln(1+an)
an
=1,
所以正项级数
n=1
an与
n=1
ln(1+an)有相同的敛散性,
从而
n=1
an收敛,且
n=1
an+1也收敛.
又因为|(−1)n
anan+1
|=
anan+1
1
2
(an+an+1),
且级数
n=1
(an+an+1)收敛,
所以,由比较判别法,
级数
n=1
(−1)n
anan+1
绝对收敛.
故答案为:绝对收敛.