外森比克不等式加强的证明外森比克不等式还可以加强为：a^2+b^2+c^2>=(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,这就是Finsler-Hadriger不等式谁能给下此不等式的证明

Question

外森比克不等式加强的证明
外森比克不等式还可以加强为：
a^2+b^2+c^2>=(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,这就是Finsler-Hadriger不等式谁能给下此不等式的证明

Answer 1

设u=(b+c-a)/2,v=(c+a-b)/2,w=(a+b-c)/2,则a=v+w,b=w+u,c=u+v
a^2+b^2+c^2-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2
=(v+w)^2+(w+u)^2+(u+v)^2-(v-u)^2-(w-v)^2-(u-w)^2
=4(uv+vw+wu)
由海伦公式,S=√((a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)) / 4 = √uvw(u+v+w)
而 (uv+vw+uw)^2-3S^2 = (uv+vw+uw)^2-3uvw(u+v+w)
=u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2-u^2vw-uv^2w-uvw^2
=((uv-vw)^2+(vw-wu)^2+(wu-uv)^2)^2
≥ 0
∴uv+vw+wu ≥ √3S
a^2+b^2+c^2-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2 = 4(uv+vw+wu) ≥ 4√3S
即 a^2+b^2+c^2 ≥ 4√3S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2