如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。（1）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（2）求二面角B-AP-C的大小。

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。

（1）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；
（2）求二面角B-AP-C的大小。

Answer 1

（1）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角。

设AB中点为D，连接PD，CD
因为AB=BC=CA，
所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，
所以△PAD为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP= ，AB=4
所以CD=2 ，OC= = =
在Rt△OCP中，tan∠OCP= = =
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan 。
（2）由（1）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则 =（1，0， ）， =（2，2 ，0）。

设平面APC的一个法向量为 =（x，y，z），
则由 得出 即 ，
取x=- ，则y=1，z=1，所以 =（- ，1，1）
设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角
而面ABP的一个法向量为 =（0，1，0），
则cosβ= = =
故二面角B-AP-C的大小为arccos 。