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(2007•大连)如图1,直线y=-x+1与x轴、y轴分别相交于点C、D,一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动,滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点,∠A的另一边与轴的正半轴
题目详情
(2007•大连)如图1,直线y=-x+1与x轴、y轴分别相交于点C、D,一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动,滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点,∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B.
(1)试探索△AOB能否构成以AO、AB为腰的等腰三角形?若能,请求出点B的坐标;若不能,说说明理由;
(2)若将题中“直线y=-x+1”、“∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B”分别改为“直线y=-x+t(t>0)”、“∠A的另一边与轴的负半轴相交于点B”(如图2),其他条件不变,试探索△AOB能否为等腰三角形(只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况)?若能,请求出点B的坐标;若不能,请说明理由.
(1)试探索△AOB能否构成以AO、AB为腰的等腰三角形?若能,请求出点B的坐标;若不能,说说明理由;
(2)若将题中“直线y=-x+1”、“∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B”分别改为“直线y=-x+t(t>0)”、“∠A的另一边与轴的负半轴相交于点B”(如图2),其他条件不变,试探索△AOB能否为等腰三角形(只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况)?若能,请求出点B的坐标;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
将x=0代入y=-x+1,y=0代入y=-x+1得点C、D的坐标为(1,0)(0,1).则:
OC=OD=1,CD=
,∠OCD=∠ODC=45°,
(1)△AOB可以构成AO、AB为腰的等腰三角形.
∵AO=AB,∠OAB=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°,∠DOA=22.5°
又∵∠AOB=∠BAC+∠ACB
即67.5°=∠BAC+45°
∴∠BAC=22.5°=∠DOA
∴△ABC≌△OAD
∴AC=OD=1,BC=AD=CD-AC=
−1,
则OB=OC-BC=2-
.
点B的坐标为(2-
,0)
即在滑动过程中△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形,此时点B的坐标为(2-
,0)
(2)若△AOB为等腰三角形,则有如下三种情况:
①OA=OB,则∠OBA=∠OAB=45°,
因此∠AOB=90°,点A与点D重合,不合题意.
②BA=BO,则∠BOA=∠BAO,
∴OA∥CA,
因此不合题意.
③AB=AO,
∵∠BAO=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD
∴∠ABC=∠BAC=67.5°
由y=-x+t知OC=OD=t,DC=
t
∴AD=OD=t,BC=AC=AD+DC=
t+t
∴BO=BC-OC=
OC=OD=1,CD=
2 |
(1)△AOB可以构成AO、AB为腰的等腰三角形.
∵AO=AB,∠OAB=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°,∠DOA=22.5°
又∵∠AOB=∠BAC+∠ACB
即67.5°=∠BAC+45°
∴∠BAC=22.5°=∠DOA
∴△ABC≌△OAD
∴AC=OD=1,BC=AD=CD-AC=
2 |
则OB=OC-BC=2-
2 |
点B的坐标为(2-
2 |
即在滑动过程中△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形,此时点B的坐标为(2-
2 |
(2)若△AOB为等腰三角形,则有如下三种情况:
①OA=OB,则∠OBA=∠OAB=45°,
因此∠AOB=90°,点A与点D重合,不合题意.
②BA=BO,则∠BOA=∠BAO,
∴OA∥CA,
因此不合题意.
③AB=AO,
∵∠BAO=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD
∴∠ABC=∠BAC=67.5°
由y=-x+t知OC=OD=t,DC=
2 |
∴AD=OD=t,BC=AC=AD+DC=
2 |
∴BO=BC-OC=
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