∫(sinx)^6(cosx)^4dx

Question

∫(sinx)^6(cosx)^4dx

Answer 1

（sinx)^6(cosx)^4
=sin²x(sin²xcos²x)²
=¼sin²xsin²(2x)
=(¼)(¼)[cos(2x-x)-cos(2x+x)]²
=(1/16)[cosx-cos(3x)]²
=(1/16)[cos²x-2cosxcos(3x)+cos²(3x)]
=(1/16)cos²x-(1/8)cosxcos(3x)+(1/16)cos²(3x)
=(1/32)[1+cos(2x)] -(1/16)[cos(3x+x)+cos(3x-x)]+(1/32)[1+cos(6x)]
=(1/32)cos(2x) +1/32 -(1/16)cos(4x) -(1/16)cos(2x) +1/32 +(1/32)cos(6x)
=(1/32)cos(6x) -(1/16)cos(4x) -(1/32)cos(2x) +1/16
∫(sinx)^6(cosx)^4 dx
=∫[(1/32)cos(6x) -(1/16)cos(4x) -(1/32)cos(2x) +1/16] dx
=(1/192)sin(6x) -(1/64)sin(4x) -(1/64)sin(2x) +(1/16)x +C
提示：本题关键是三角函数的化简(即降幂)