已知F1,F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点,若存在点P使的PF1⊥PF2,则椭则椭圆的离心率的取值范围为

Question

已知F1,F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点,若存在点P使的PF1⊥PF2,则椭
则椭圆的离心率的取值范围为

Answer 1

a/sinPF1F2=c/sinPF2F1
c/a=sinPF2F1/sinPF1F2
而由正弦定理知：sinPF2F1/sinPF1F2=|PF2|/|PF1|
所以,e=c/a=|PF2|/|PF1|
|PF1|+|PF2|=2a
所以,(e+1)|PF1|=2a
|PF1|=2a/(e+1)
|PF2|=e|PF1|=2ae/(e+1)
而：||PF1|-|PF2||≤|F1F2|=2c
所以.2a(1-e)/(e+1)≤2c
(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0,e>0
所以,e≥√2-1
椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)
求采纳为满意回答.