已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭

Question

已知椭圆C： (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 (a＞b＞0) 的离心率为 (1)/(2) ，F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF ₁ 为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF ₁ F ₂ 面积的最大值．

Answer 1

（1）因为2c=2，且 (c)/(a) =(1)/(2) ，所以c=1，a=2．
所以b ² =3．
所以椭圆C的方程为 (x2)/(4) +(y2)/(3) =1 ．
（2）设点M的坐标为（x ₀ ，y ₀ ），
则 (x20)/(4) +(y20)/(3) =1 ．
因为F ₁ （-1，0）， (a2)/(c) =4 ，
所以直线l的方程为x=4．
由于圆M与l有公共点，
所以M到l的距离4-x ₀ 小于或等于圆的半径R．
因为R ² =MF ₁ ² =（x ₀ +1） ² +y ₀ ² ，
所以（4-x ₀ ） ² ≤（x ₀ +1） ² +y ₀ ² ，
即y ₀ ² +10x ₀ -15≥0．
又因为

y

20

=3(1-(x20)/(4) ) ，
所以 3-(3x20)/(4) +10 x 0 -15≥0 ．
解得 (4)/(3) ≤ x 0 ≤12 ．又 (x20)/(4) +(y20)/(3) =1 ，∴ (4)/(3) ≤ x 0 ＜2
当 x 0 =(4)/(3) 时， | y 0 |=(15)/(3) ，
所以 ( S △M F 1 F 2 ) max =(1)/(2) ×2×(15)/(3) =(15)/(3) ．