已知椭圆C：x^2/3+y^2=1.其准圆：x^2+y^2=4.点P是椭圆C的准圆上的一个动点过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个焦点,求证l1垂直l2.

Question

已知椭圆C：x^2/3+y^2=1.其准圆：x^2+y^2=4.点P是椭圆C的准圆上的一个动点
过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个焦点,求证l1垂直l2.

Answer 1

椭圆方程x²+3y²=3
设P(x0,y0)在椭圆的准圆上
则x0²+y0²=4
设过P的直线是y-y0=k(x-x0)
代入椭圆方程
x²+3[kx-(kx0-y0)]²=3
∴ (1+3k²)x²-6(kx0-y0)kx+3(kx0-y0)²-3=0
判别式=36(kx0-y0)²*k²-4(1+3k²)*[3(kx0-y0)²-3]=0
∴ 3(kx0-y0)²k²-(1+3k²)*[(kx0-y0)²-1]=0
∴ -(kx0-y0)²+1+3k²=0
即 (3-x0²)k²+2kx0y0+1-y0²=0
则 利用韦达定理,k1*k2=(1-y0²)/(3-x0²)=(1-4+x0²)/(3-x0²)=-1
∴ 直线L1,L2垂直.