若点O和点F分别为椭圆x23+y24=1的中心和上焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP•FP的最大值为（）A．2B．3C．6D．8

Question

若点O和点F分别为椭圆(x2)/(3)+(y2)/(4)=1的中心和上焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

OP

•

FP

的最大值为（　　）

A．2
B．3
C．6
D．8

Answer 1

由椭圆(x2)/(3)+(y2)/(4)=1可得a=2，b²=3，c＝√(a2−b2)=1．
∵点O和点F分别为椭圆(x2)/(3)+(y2)/(4)=1的中心和上焦点，
∴O（0，0），F（0，1）．
设P(√(3)cosθ，2sinθ)，θ∈[0，2π）．
则

OP

•

FP

=(√(3)cosθ，2sinθ)•(√(3)cosθ，2sinθ−1)
=3cos²θ+4sin²θ-2sinθ
=（sinθ-1）²+2≤6．
当且仅当sinθ=-1时取等号．
∴

OP

•

FP

的最大值为6．
故选：C．