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若点O和点F分别为椭圆x23+y24=1的中心和上焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP•FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8
题目详情
若点O和点F分别为椭圆
+
=1的中心和上焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
•
的最大值为( )
A.2
B.3
C.6
D.8
x2 |
3 |
y2 |
4 |
OP |
FP |
A.2
B.3
C.6
D.8
▼优质解答
答案和解析
由椭圆
+
=1可得a=2,b2=3,c=
=1.
∵点O和点F分别为椭圆
+
=1的中心和上焦点,
∴O(0,0),F(0,1).
设P(
cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π).
则
•
=(
cosθ,2sinθ)•(
cosθ,2sinθ−1)
=3cos2θ+4sin2θ-2sinθ
=(sinθ-1)2+2≤6.
当且仅当sinθ=-1时取等号.
∴
•
的最大值为6.
故选:C.
x2 |
3 |
y2 |
4 |
a2−b2 |
∵点O和点F分别为椭圆
x2 |
3 |
y2 |
4 |
∴O(0,0),F(0,1).
设P(
3 |
则
OP |
FP |
3 |
3 |
=3cos2θ+4sin2θ-2sinθ
=(sinθ-1)2+2≤6.
当且仅当sinθ=-1时取等号.
∴
OP |
FP |
故选:C.
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