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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：
题目详情
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；
（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式：
=cosθ
+sinθ
成立．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；
（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式：
| OM |
| OA |
| OB |
▼优质解答
答案和解析
（1）设椭圆的焦距为2c，因为
＝
，
所以有
＝
，故有a2=3b2．从而椭圆C的方程可化为：x2+3y2=3b2①
易知右焦点F的坐标为（
b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y＝x−
b②
由①，②有：4x2−6
bx+3b2＝0③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），由③及韦达定理有：x0＝
＝
，y0＝x0−
b＝−
| c |
| a |
| ||
| 3 |
所以有
| a2−b2 |
| a2 |
| 2 |
| 3 |
易知右焦点F的坐标为（
| 2 |
据题意有AB所在的直线方程为：y＝x−
| 2 |
由①，②有：4x2−6
| 2 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），由③及韦达定理有：x0＝
| x1+x2 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
| 2 |
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