已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(6))/(3)，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K_ON；
（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

（1）设椭圆的焦距为2c，因为(c)/(a)＝(√(6))/(3)，
所以有(a2−b2)/(a2)＝(2)/(3)，故有a²=3b²．从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²①
易知右焦点F的坐标为（√(2)b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y＝x−√(2)b②
由①，②有：4x2−6√(2)bx+3b2＝0③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），由③及韦达定理有：x0＝(x1+x2)/(2)＝(3√(2)b)/(4)，y0＝x0−√(2)b＝−

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