如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A,B,C.景区管委会又开发了风景如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A,B,C.景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位

Question

如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A,B,C.景区管委会又开发了风景
如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A,B,C.景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8千米处,且位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上.已知AB=5千米
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长.(精确到0.1千米)
(2)求景点C与景点D之间的距离

Answer 1

（1）如左图,BD与正北线平行,易知有∠ADB=30°,∠CDB=75°
对△ABD应用余弦定理,有
AB^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cos∠ADB,即
5^2=8^2+BD^2-2*8*BD*cos30°,
解一元二次方程可得 BD=4√3±3≈3.9 km或9.9 km
当BD=9.9 km时,有BD>AD,将形成如右图所示的位置关系
但此时,D点并不在C点的北偏西方向,与原题不符,故此解舍弃
∴公路BD的长度为3.9km
（2）对△ABD应用正弦定理,有
BD/sin∠BAD=AB/∠ADB,即 3.9/sin∠BAD=5/sin30°
可解得 ∠BAD=arcsin0.39≈23°,
∴∠CBD=∠BAD+∠ADB=23°+30°=53°
又∠CDB=75°,∴∠BCD=180°-75°-53°=52°
对△BCD应用正弦定理,有
BD/sin∠BCD=CD/∠CBD,即 3.9/sin52°=CD/sin53°
可解得CD=3.9*sin53°/sin52°=3.95km≈4.0km
即CD与BD的距离大致相等