圆C:(x+4)^2+y^2=4与x轴交于A,B两点,点P是圆C上的动点,直线AP与PB分别交y轴于M,N两点.以MN为直径的圆过定点,求出定点的坐标:若不过定点,说明理由

Question

圆C:(x+4)^2+y^2=4与x轴交于A,B两点,点P是圆C上的动点,直线AP与PB分别交y轴于M,N两点.
以MN为直径的圆过定点,求出定点的坐标:若不过定点,说明理由

Answer 1

1、作图：
圆C:(x+4)^2+y^2=4,为以（-4,0）为圆点,2为半径的圆,
将y=0,代入圆C公式,可求出x=-6,-2,即A点的坐标为（-6,0）,B点的坐标为（-2,0）
在圆C上任取一点P,建议取靠近Y轴的点,连接AP,交Y轴与M点；连接BP,交Y轴与N点
画出以MN为直径的圆,
通过图可看出,若以MN为直径的圆有定点,则定点一定在X轴上,因为,点P相对X轴都与一个对称点.
2、求解思路：
假设P点为（m,n）
将点P和点A的坐标代入直线公式y=kx+b,可求出直线AP的方程,y=n/（m+6）*(x+6)
当x=0,时得y=6n/（m+6）,即：M的坐标为（0,6n/（m+6））
同理可求出N的坐标为（0,2n/（m+2））
假设MN为直径的圆的圆心O为（0,x）,则由：
M的Y轴坐标-O的Y轴坐标=O的Y轴坐标-N 的Y轴坐标 即
6n/（m+6)-x=x-2n/（m+2）,可求出x=4n（m+3）/[（m+2）*（m+6）]
再由：（M的Y轴坐标-N 的Y轴坐标）/2=[6n/（m+6)-2n/（m+2）]/2=2mn/[（m+2）*（m+6）]
得到MN为直径的圆的半径.
因此,MN为直径的圆的方程可写成
x^2+{y-4n（m+3）/[（m+2）*（m+6）]}^2={2mn/[（m+2）*（m+6）]}^2
由圆C:(x+4)^2+y^2=4,将（m,n）代入可得n^2=-（m+2）*（m+6）
将MN为直径的圆的方程化简成：
x^2+y^2+8（m+3）/n*y=12

取点P为（-4,2）和P为（-4,-2）
可得到两个圆的方程
x^2+（y-2）^2=16
x^2+（y+2）^2=16
由以上公式可求出其交点为（-2根号3,0）和（2根号3,0）
假设这两个点为MN为直径圆的定点
则将其代入MN为直径的圆的方程中,可得：（2根号3,0）^2+0^2+8（m+3）/n*0=12
该方程恒成立,因此可断定：
以MN为直径的圆有定点,为点（-2根号3,0）和（2根号3,0）