设A为列满秩矩阵,AB=C,证明Bx=0与Cx=0同解

Question

设A为列满秩矩阵,AB=C,证明Bx=0与Cx=0同解

Answer 1

首先, 若X是BX = 0的解, 则CX = ABX = 0, 即X也是CX = 0的解.
反之, 若X是CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解.
而由A列满秩, AY = 0只有零解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解.
综合两方面, BX = 0与CX = 0同解.
还有一种方法:
由A列满秩可得r(B) ≥ r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示A的列数), 故r(C) = r(AB) = r(B).
因此BX = 0与CX = 0解空间维数相等.
又易见前者的解空间包含于后者, 因此二者解空间相同.