如图所示，一个内壁光滑绝缘的13环形细圆筒轨道竖直放置，环的半径为R，圆心O与A端在同一竖直线上，在OA连线的右侧有一竖直向上的电场强度E=mgq的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．

Question

如图所示，一个内壁光滑绝缘的(1)/(3)环形细圆筒轨道竖直放置，环的半径为R，圆心O与A端在同一竖直线上，在OA连线的右侧有一竖直向上的电场强度E=(mg)/(q)的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．现有一个质量为m、电荷量为+q的小球（可视为质点）从圆筒的C端由静止释放，进入OA连线右边的区域后从该区域的边界水平射出，然后，刚好从C端射入圆筒．圆筒的内径很小，可以忽略不计求：
（1）小球第一次运动到A端时，对轨道的压力为多大？
（2）匀强磁场的磁感应强度为多大？

Answer 1

（1）对小球，从C到A过程中，根据动能定理，则有：(1)/(2)m

v

2 A

−0＝mghCA；
由几何关系，则有：h_CA=R+Rsin30°；
在A对小球受力分析，受重力与轨道的支持力，由牛顿第二定律，则有：N-G=m(v2A)/(R)；
联立上式，可解得：N=4mg；
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力N′=4mg；

（2）小球进入复合场后，受到重力、电场力与洛伦兹力，
根据竖直向上的电场强度E=(mg)/(q)的匀强电场，可知，电场力与重力相平衡，则由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，当水平射出后，做平抛运动，刚好落在C点，如图所示；

根据牛顿第二定律可知，则有：Bqv_A=(mv2A)/(r)；
小球在P点做平抛运动，则有：x=v_At；
而y=(1)/(2)gt2；
根据几何关系，得：x=Rcos30°=(√(3)R)/(2)；
且v_A=√(3gR)；
解得：y=(1)/(2)×g×(gR)/(4g2)=(R)/(8)；
设圆周运动的半径为r，则有：2r=(R)/(8)+(R)/(2)+R；
联立上式，可解得：B=(16m√(3gR))/(13qR)；
答：（1）小球第一次运动到A端时，对轨道的压力为4mg；
（2）匀强磁场的磁感应强度为(16m√(3gR))/(13qR)．