（2008•嘉定区一模）如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．（1）若α=2β=600

Question

（2008•嘉定区一模）如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．
（1）若α=2β=60⁰，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？
（2）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

Answer 1

（1）作MC⊥AB，垂足为C，由已知α=60°，β=30°，所以∠ABM=120°，∠AMB=30°所以BM=AB=4，∠MBC=60°，
所以MC＝BM•sin600＝2√(3)＜3.5，所以该船有触礁的危险．
设该船自B向东航行至点D有触礁危险，则MD=3.5，在△MBC中，BM=4，BC=2，MC＝2√(3)，CD＝√(3.52−(2√(3))2)＝0.5，所以，BD=1.5（km），所以，该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．
（2）设CM=x，在△MAB中，由正弦定理得，(AB)/(sin∠AMB)＝(BM)/(sin∠MAB)，
即(4)/(sin(α−β))＝(BM)/(cosα)，BM＝(4cosα)/(sin(α−β))，而x＝BM•sin∠MBC＝BM•cosβ＝(4cosαcosβ)/(sin(α−β))，
所以，当x＞3.5，即(4cosαcosβ)/(sin(α−β))＞(7)/(2)，即(cosαcosβ)/(sin(α−β))＞(7)/(8)时，该船没有触礁危险．