设AB是过椭圆x²/5+y²/4=1的一个焦点F的玄,若AB的长为16√5/9,则直线AB的斜率为

Question

设AB是过椭圆x²/5+y²/4=1的一个焦点F的玄,若AB的长为16√5/9,则直线AB的斜率为

Answer 1

x²/5+y²/4=1即4x²+5y²=20
a²=5,b²=4,c²=a²-b²=1
c=1
左焦点（-1,0）
设直线y=k(x+1)
4x²+5k²(x+1)²=20
整理
(5k²+4)x²+10k²x+5k²-20=0
韦达定理
x1+x2=-10k²/(5k²+4)
x1*x2=(5k²-20)/(5k²+4)
根据弦长公式
弦长=√(1+k²)[(x1+x2) ²-4x1x2]
所以
(16√5)/9=√(1+k²)[(x1+x2) ²-4x1x2]
(1+k²)[100k^4/(5k²+4)²-4(5k²-20)/(5k²+4)]=1280/81
(1+k²)²/(5k²+4)²=4/81
因为1+k²>0,5k²+4>0
所以
(1+k²)/(5k²+4)=2/9
9+9k²=10k²+8
k²=1
k=1或-1