“欧拉拓扑”公式能运用在哪些地方?实际用途

Question

“欧拉拓扑”公式能运用在哪些地方?实际用途

Answer 1

欧拉公式主要是理论方面的研究运用,实际上比较少用,是三角函数和指数函数的关系.在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做
欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中.
（1）分式里的欧拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复变函数论里的欧拉公式：
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.
将公式里的x换成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e,圆周率∏,两个单位：虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它.
（3）三角形中的欧拉公式：
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）拓扑学里的欧拉公式：
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面）,那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h.
X(P)叫做P的拓扑不变量,是拓扑学研究的范围.
（5）初等数论里的欧拉公式：
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数.n是一个正整数.
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等.则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它.
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名.