求解方程组X1-X2-X3+X4=0,X1-X2+X3-3X4=1,X1-X2-2X3+3X4=-1/2的全部解与基础解系

Question

求解方程组X1-X2-X3+X4=0,X1-X2+X3-3X4=1,X1-X2-2X3+3X4=-1/2的全部解与基础解系

Answer 1

写出此方程组的增广矩阵,用初等行变换来解
1 -1 -1 1 0
1 -1 1 -3 1
1 -1 -2 3 -1/2 第2行减去第1行,第3行减去第1行
～
1 -1 -1 1 0
0 0 2 -4 1
0 0 -1 2 -1/2 第1行减去第3行,第2行加上第3行乘以2,第3行乘以-1
～
1 -1 0 -1 1/2
0 0 0 0 0
0 0 1 -2 1/2 交换第2行和第3行
～
1 -1 0 -1 1/2
0 0 1 -2 1/2
0 0 0 0 0
显然(1/2,0,1/2,0)^T是方程组的特解,
而增广矩阵的秩为2,
所以基础解系中有4-2即2个向量,
分别为(1,1,0,0)^T和(1,0,2,1)^T
那么方程组的解为：
c1*(1,1,0,0)^T +c2*(1,0,2,1)^T +(1/2,0,1/2,0)^T,c1c2为任意常数