如图所示，水平方向的匀强电场的场强为E（场区宽度为L，竖直方向足够长），紧挨着电场的是垂直纸面向外的两个匀强磁场区，其磁感应强度分别为B和2B．一个质量为m、电量为q的带正电粒

Question

如图所示，水平方向的匀强电场的场强为E（场区宽度为L，竖直方向足够长），紧挨着电场的是垂直纸面向外的两个匀强磁场区，其磁感应强度分别为B和2B．一个质量为m、电量为q的带正电粒子（不计重力），从电场的边界MN上的a点由静止释放，经电场加速后进入磁场，经过t_B=(πm)/(6qB)时间穿过中间磁场，进入右边磁场后能按某一路径再返回到电场的边界MN上的某一点b（虚线为场区的分界面）．求：
（1）中间磁场的宽度d；
（2）粒子从a点到b点共经历的时间t_ab；
（3）当粒子第n次到达电场的边界MN时与出发点a之间的距离s_n．

Answer 1

（1）粒子a点出发，在电场中加速和磁场中偏转，回到MN上的b点，轨迹如图所示．
粒子在电场中加速运动时，有：qEL=(1)/(2)mv²-0，
解得：v=√((2qEL)/(m))，
由t_B=(1)/(12)T得：粒子在中间磁场通过的圆弧所对应的圆心角为θ=30°；
粒子在中间磁场通过的圆弧半径为：r₁=(mv)/(qB)，由几何关系得：d=(1)/(2)r₁，
解得：d=(1)/(B)√((mEL)/(2q))；
（2）粒子在右边的磁场中运动：其圆弧对应的圆心角为β=120°，
则：t_2B=(1)/(3)T′=(πm)/(3qB)，
粒子在电场中加速时Eq•t_g=mv，
解得：t_g=√((2mL)/(qE))；
结合对称性：t_ab=2t_g+2t_B+2t_2B=√((2mL)/(qE))+(2πm)/(3qB)；
（3）由轨迹图得：y=r₁-√(r21−d2)=(2−√(3))/(2)r₁，
S_ab=r₁cos30°+2y=（2-(√(3))/(2)）r1，
再由周期性：S_n=nS_ab=((4−√(3))n)/(B)√((mEL)/(2q))．
答：（1）中间场区的宽度d为(1)/(B)√((mEL)/(2q))；
（2）粒子从a点到b点所经历的时间为√((2mL)/(qE))+(2πm)/(3qB)；
（3）当粒子第n次返回电场的MN边界时与出发点a之间的距离为((4−√(3))n)/(B)√((mEL)/(2q))．