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一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其
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一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜.
按照这种游戏规则,求甲获胜的概率.(用具体的数字作答)
按照这种游戏规则,求甲获胜的概率.(用具体的数字作答)
▼优质解答
答案和解析
由于甲、乙都非常聪明,他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数.注意到2,3,4,2006中有1002个奇数,有1003个偶数;
(1)若裁判擦去的是奇数,此时乙一定获胜.
乙不管甲取什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后两个数一定都是偶数,从而所剩两数不互质,故乙胜;(10分)
(2)若裁判擦去的数是偶数,此时甲一定获胜.
设裁判擦去的数是2m,则将所剩的数配成1002对:(2,3),(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),(2005,2006).
这样,不管乙取哪一个数,甲就去所配数对中的另一个数,这样最后剩下的两数必然互质,故甲胜.(20分)
所以,甲获胜的概率为
.(25分)
故答案为:
.
(1)若裁判擦去的是奇数,此时乙一定获胜.
乙不管甲取什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后两个数一定都是偶数,从而所剩两数不互质,故乙胜;(10分)
(2)若裁判擦去的数是偶数,此时甲一定获胜.
设裁判擦去的数是2m,则将所剩的数配成1002对:(2,3),(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),(2005,2006).
这样,不管乙取哪一个数,甲就去所配数对中的另一个数,这样最后剩下的两数必然互质,故甲胜.(20分)
所以,甲获胜的概率为
1003 |
2005 |
故答案为:
1003 |
2005 |
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