已知定义域为R的函f（x）=-2x+a2x+1是奇函敷．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单凋性；（3）设m为常数，且m>0，若对任意的t∈[1，2]，不等式f（-m+2t）+f（-mt2+1）≥0恒成立，求m

Question

已知定义域为R的函f（x）=(-2x+a)/(2x+1)是奇函敷．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单凋性；
（3）设m为常数，且m>0，若对任意的t∈[1，2]，不等式f（-m+2t）+f（-mt²+1）≥0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=(-20+a)/(20+1)=0，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=(1-2x)/(1+2x)=-1+(2)/(2x+1)，
显然(2)/(2x+1)随着x的增大而减小，
故f（x）在R单调递减；
（3）∵f（-m+2t）+f（-mt²+1）≥0恒成立，m>0，t∈[1，2]，
∴f（-mt²+1）≥-f（-m+2t）；
∵f（x）是奇函数，∴-f（-m+2t）=f（m-2t），
∴f（-mt²+1）≥f（m-2t），
又∵f（x）是减函数，∴-mt²+1≤m-2t，
即mt²-2t+m-1≥0恒成立，m>0，t∈[1，2]，
∴m≥(2t+1)/(t2+1)在t∈[1，2]恒成立；
令h（t）=(2t+1)/(t2+1)，t∈[1，2]，
∴h′（t）=(-2t2-2t+2)/((t2+1)2)，h″（t）=-4t-2<0，
∴h′（t）在[1，2]递减，h′（t）_max=h′（1）=-(1)/(2)<0，
∴h（t）在[1，2]递减，h（t）_max=h（1）=(3)/(2)
∴m的取值范围是{m|m>(3)/(2)}．