请教一个“排列组合”题的解法.从1,2,3,4,5,...,20这20个自然数中任取3个不同的数,使它们成等差数列,这样的等差数列共有多少个?答案是180个.

Question

请教一个“排列组合”题的解法.
从1,2,3,4,5,...,20这20个自然数中任取3个不同的数,使它们成等差数列,这样的等差数列共有多少个?
答案是180个.

Answer 1

首先看递增的数列,考虑等差数列最中间那个数,可能的值是2,3,...,19.
当取2时,可能的等差数列有1,2,3
当取3时,可能的等差数列有1,3,5;
2,3,4
.
可以看到,当中间的那个数为k时,若k<=10,则可能的等差数列有
1,k,2k-1;
2,k,2k-2;
...
k-1,k,k+1.共k-1个
当k>=11时,可能的的长数列为：
k-1,k,k+1;
k-2,k,k+2;
...
2k-19,k,19;
2k-20,k,20.共20-k个
由于k可以在2-19里面选取,可能的等差数列个数共有：
(2-1)+(3-1)+...+(10-1)+(20-11)+(20-12)+...+(20-19)
=1+2+...+8+9+9+8+...+2+1
=45+45=90
在考虑递减数列,同样有90个.因此一共有180个不同的等差数列.