(2013•徐州三模)已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=12r,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲
(2013•徐州三模)已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=r,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC为斜边;如图乙,直角顶点E在线段OC上,且另一个顶点D在上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.
答案和解析
如图甲,
设∠DBC=α(
0<α<),
则BD=cosα,DC=sinα,
所以S△BDC=BD•DC=•cosα•sinα
=r2sin2α≤r2,
当且仅当α=时取等号,
此时点D到BC的距离为r,可以保证点D在半圆形材料ABC内部,
因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为r2.
如图乙,
设∠EOD=θ,则OE=rcosθ,DE=rsinθ,
所以S△BDE=r2(1+cosθ)sinθ,θ∈[,].
设f(θ)=r2(1+cosθ)sinθ,则f′(θ)=r2(1+cosθ)(2cosθ−1),
当θ∈[,]时,f'(θ)≤0,所以θ=时,即点E与点C重合时,△BDE的面积最大值为r2.
因为3
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